O que é o GPS ?
O sistema GPS (Global Positioning System) é composto por 24
satélites activos e 3 de reserva colocados numa "órbita alta", a
20.200 km de altitude, e distribuídos por 6 planos orbitais para que
qualquer ponto da superfície da Terra esteja, em qualquer momento,
"em linha de vista" com pelo menos 4 satélites.
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| Imagem:
Garmin |
Inicialmente criado com intuitos exclusivamente militares e
gerido pelo Departamento de Defesa do Estados Unidos foi
definitivamente aberto à utilização pública no ano 2000. E a partir
dessa data ficou disponível para todos a capacidade de determinação
da posição geográfica e de navegação entre quaisquer dois pontos da
superfície terrestre.
Este sistema, bem como os seus
equivalentes, o europeu Galileu e o russo Glonass, recorrem a um
processo geométrico de trilateração (e não "triangulação"
como é frequente ler-se, erradamente, em vários documentos, livros,
etc. Com efeito, este processo mede lados, as distâncias do objecto
a cada um dos satélites e não os ângulos entre si. Não se procede a
qualquer medida dos ângulos!)
Desde Agosto de 2000 que,
graças à introdução do WAAS (Wide-Area Augmentation System) que a
precisão do GPS é inferior a 2 metros. E com o recurso ao DGPS
(Differential GPS), utilizando emissores fixos, na superfície
terrestre, essa precisão pode atingir 1 centímetro!
O sinal
emitido pelos satélites para utilização civil, no canal primário L1,
é transportado por uma onda de rádio na frequência de 1575.42
MHz.
Como é medida a distância do receptor aos satélites do GPS?
Tudo se resume a medir o tempo que o sinal emitido por cada
satélite demora a atingir a nossa antena receptora. A velocidade a
que este sinal se propaga pelo espaço vazio é, obviamente, de
300.000 km/s. Depois é só multiplicar esta velocidade pelo tempo
medido e obtemos a distância.
Então qual é o problema?
O problema é a enorme precisão exigida para se poder medir o
tempo decorrido desde a emissão do sinal até à sua chegada ao
receptor. É que estamos a falar da velocidade da luz ! E se o sinal
viaja a 300 milhões de metros por segundo, então, para obtermos
medições de distâncias com a precisão de 1 metro é preciso
conseguirmos medir o tempo com uma precisão na ordem dos 0,000000003
segundos (entre 3 e 4 nanossegundos)!
Para medir diferenças temporais dessa ordem é necessário que
todos os intervenientes, os satélites e os receptores, disponham de
relógios extremamente precisos. Os satélites cumprem esse requisito
pois possuem relógios atómicos caríssimos, mas os nossos receptores
dispõem apenas de vulgares relógios de quartzo. Para ultrapassar
esse inconveniente o sistema GPS recorre a um artifício engenhoso:
faz com que o relógio do nosso receptor esteja constantemente a ser
actualizado com a hora atómica transmitida pelos satélites do
sistema GPS. De facto, o nosso PDA, telemóvel, ou qualquer outro
equipamento que esteja ligado a uma antena de GPS apresenta a hora
absolutamente correcta. Nenhum relógio de pulso, por mais caro que
seja, poderá competir com a precisão deste relógio atómico em que o
nosso PDA se transformou!
De um satélite que esteja colocado exactamente por cima da nossa
cabeça - ou seja, à mínima distância possível de 20.200km- o sinal
demorará cerca de 0,0673 segundos (20.200/300.000) a chegar-nos. O
sinal de um segundo satélite, colocado perto do horizonte terrestre
à máxima distância (teórica) possível para estar em "linha de
vista", ou seja, a cerca de 25.800km de distância de nós, demorará,
em teoria, cerca de 0,0860s (25.800/300.000) a atingir o nosso
receptor.
No entanto estes são os casos extremos. Os 4 satélites
necessários estarão necessariamente em posições intermédias destas e
mais próximas entre si. Considerando um exemplo em que um satélite
esteja a 45º do horizonte estará à distância de cerca de 21.683 km e
o sinal demorará 0,0723s até chegar ao nosso receptor.
Saber a que distância estamos de cada satélite chega para
sabermos a nossa posição?
Claro que não. Primeiro é preciso sabermos onde está cada
satélite. Como podemos saber isso? São os próprios satélites que nos
dizem. Cada um deles comunica ao nosso receptor, um almanaque com a
sua posição no espaço em cada momento para podemos determinar a
nossa própria posição.
Quantos satélites são necessários para determinar a nossa
posição?
Em teoria, três!
Mas leu algures que são necessários quatro? Bom, na prática são
usados quatro. Vejamos melhor porquê...
Com um satélite do qual conhecemos a distância a que está de nós,
apenas nos é possível dizer que a nossa localização é um ponto
qualquer sobre uma esfera imaginária com raio igual a essa
distância:
Ainda sabemos muito pouco sobre a nossa localização. As
possibilidades são em número infinito, distribuídas por uma
superfície esférica, em 3 dimensões espaciais.
Mas se conhecermos também a distância a que estamos de um segundo
satélite, já nos é possível afirmar que a nossa posição é um ponto
qualquer sobre a circunferência imaginária que resulta da
intersecção das duas esferas:
Agora as possibilidades, embora sejam ainda em número infinito,
já estão limitadas ao plano da circunferência, em duas dimensões.
Com um terceiro satélite, a intersecção desta última esfera com a
circunferência reduz a ambiguidade sobre a nossa localização a 2
pontos. Mas como um dos pontos pode ser eliminado pela simples razão
de se encontrar no espaço e nós sabemos estar na superfície da
Terra...
...está encontrada a nossa posição
De facto o terceiro satélite é suficiente para determinar o ponto
onde nos encontramos. Mas então...
Para que serve o quarto satélite ?
Primeiro que tudo: dispensa a utilização do raciocínio atrás
descrito. O quarto satélite permite "escolher" um dos 2 pontos
anteriormente determinados e sabermos, além da latitude e da
longitude (duas dimensões), a altitude exacta da nossa
localização.
Mas, mais importante: permite verificar se existe o essencial
sincronismo de todos os relógios.
De facto, se as medidas que o nosso receptor fez das distâncias
forem perfeitas - com o seu relógio perfeitamente sincronizado com
os dos satélites - então as 4 esferas intersectam-se num único
ponto. Mas se as medidas forem imperfeitas, isso não
acontecerá.
Então o receptor, alertado para o erro pela
quarta medição, aplicará o factor de correcção necessário para que
as 4 esferas se intersectem num único ponto.
E é nesta altura que passamos a ter na nossa mão, como bónus, um
relógio tão preciso quanto os mais caros relógios atómicos!
Como são calculadas as distâncias ?
Como se viu antes, a determinação da nossa posição depende de um
simples método geométrico de trilateração que se resume à medição
das distâncias até três ou quatro pontos de referência, cuja posição
é conhecida, os satélites do sistema GPS.
Como não é possível
esticar uma fita métrica desde o nossa posição na Terra até cada um
dos satélites, é necessário determinar a distância doutra forma. No
caso vertente, medindo o tempo que um sinal - de velocidade
conhecida - demora a chegar até nós e aplicando a trivial
fórmula:
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ou seja,
|
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| em que, v = velocidade, e = espaço, t =
tempo |
A distância e, entre o nosso receptor e cada
um dos satélites, é a incógnita que se pretende determinar. A
velocidade v, será neste caso a da luz, constante e
conhecida. Mas o tempo t, decorrido entre a "partida" e
a "chegada" do sinal, terá que ser calculado pelo nosso receptor de
GPS. E é precisamente na medição precisa deste lapso de tempo que
reside uma das dificuldades práticas da implementação do GPS dado
que ela é afectada por diversos factores que a podem falsear !
Nota: Adaptando esta fórmula ao caso específico do
GPS temos Pr = c(TS-TR) o chamado
pseudorange que dá uma estimativa aproximada da
distância a que o satélite se encontra do receptor.
O que pode provocar imperfeição das medições ?
Existem vários factores que podem afectar a exactidão das
medições e, consequentemente, a determinação da posição precisa do
receptor:
| Ionosfera |
até
5m |
| Dados da Efeméride |
até
2,5m |
| Desvio dos relógios |
até
2m |
| Reflexos |
até
1m |
| Troposfera |
até
0,5m |
A velocidade (c)
de propagação do sinal é diminuída ao atravessar a atmosfera. As duas
camadas com interferência na forma de propagação da radiação
electromagnética são a ionosfera - por ser composta por átomos
ionizados pela radiação solar - e a troposfera - por conter alto
teor de humidade. Este efeito é imprevisível e é tanto maior quanto
mais próximo o satélite estiver do horizonte. É usualmente
corrigido pela aplicação de modelos, pela utilização de duas
frequências diferentes (L1 e L2), etc.
A desactualização temporária dos dados
transmitidos, uma vez que os almanaques são emitidos pelos satélites apenas a cada
12 minutos e meio e as efemérides a cada 30 segundos, também
pode diminuir a precisão do GPS. O mesmo acontece devido aos
eventuais e imprevisíveis reflexos do sinal provocados por edifícios
altos, pela orografia do terreno circundante, etc.
Outro dos factores que afectam a exactidão das medições é o
efeito relativístico da dilatação do tempo, previsto pela
Teoria da Relatividade de Einstein.
E este é aquele cuja
correcção é, na minha opinião, de longe a mais
interessante. Que mais não seja porque, ao contrário do que acontece
com os outros factores, neste caso o erro provocado é acumulável; e
se não fosse corrigido provocaria erros absolutamente inaceitáveis
tornando o GPS completamente inútil
mesmo para a menos exigente das utilizações.
Efectivamente,
a Teoria da Relatividade Restrita (TRR), prevê que um relógio
em movimento em relação a um sistema de referência - a Terra, neste
caso - funcione mais lentamente que um relógio (absolutamente
idêntico) colocado na superfície da Terra e que essa diferença será
tanto maior quanto maior for a velocidade relativa do relógio em
movimento.
Nota importante: Tanto o relógio em movimento como o
relógio "em repouso" apresentam medições correctas do tempo... no
seu próprio sistema de referência. Um hipotético astronauta, a
bordo de um satélite do sistema GPS veria a sua vida decorrer a um
ritmo absolutamente normal. Ele demoraria exactamente o mesmo
tempo a ler um livro que levaria na Terra. O seu tempo de vida
seria o mesmo. O tempo medido por um relógio em movimento só é
mais lento do ponto de vista de um observador noutro sistema
inercial, que usa o seu próprio relógio como referência para a
comparação.
Por seu lado, a Teoria da Relatividade Geral (TRG) prevê
que um relógio colocado sob a influência de um campo gravitacional
(como o da Terra) funcione mais lentamente que um outro relógio
colocado fora da influência desse campo.
Ou seja: o efeito da "dilatação cinética do tempo" prevista pela
TRR tende a fazer o relógio de um satélite GPS mais lento que o
relógio do nosso receptor, mas por outro lado, o efeito da
"dilatação gravítica do tempo" tenderá a fazê-lo mais rápido que o
do nosso receptor. O efeito conjunto faz com que o relógio do
satélite se atrase, em relação ao "tempo da Terra" cerca de 38ms
(milissegundos) por dia.
Se esta diferença não fosse levada em conta, a
Relatividade faria - considerando apenas o rápido movimento dos
satélites e a acção da gravidade - com que fosse acumulado um erro
de posicionamento do GPS da ordem dos 11.524
metros por dia (c x 38ms).
Um erro absolutamente
inaceitável !!!
Para ver uma demonstração matemática, mais pormenorizada, clique
aqui
Como é determinada a posição do receptor ?
Uma vez conhecidas as distâncias a cada um dos satélites há que calcular as
coordenadas tridimensionais da posição do nosso
receptor:
XR, YR e ZR.
Para isso há que recorrer novamente... ao Teorema de Pitágoras e ao maravilhoso
e polivalente triângulo rectângulo!
Como se pode constatar em alguns sites dedicados ao tema
do GPS, a fórmula utilizada na determinação da posição poderá
ser semelhante a esta:
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c(TS-TR) =
((XS - XR)2 + (YS -
YR)2 + (ZS -
ZR)2)1/2
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em que c = velocidade da luz,TS =
tempo da
emissão, TR = tempo da recepção,
XS,
YS, ZS = posição do satélite, e
XR, YR, ZR = posição do receptor.
Nota: o
produto c(TS-TR) constitui o chamado
pseudorange.
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mas o que normalmente não se explica é o porquê desta fórmula. Vamos
ver...
Os
parâmetros conhecidos são TS (a hora de emissão do sinal), XS, YS,
ZS (a posição do satélite) e,
claro, a velocidade do sinal
c (299792,458 km/s).
As incógnitas são quatro : XR, YR, ZR (a posição do receptor) e TR (a hora de recepção do
sinal).
Quatro incógnitas => quatro equações =
> quatro satélites
Primeiro que tudo há que estabelecer um sistema de
coordenadas cartesianas. O GPS utiliza um sistema ECEF
(Earth Centered - Earth Fixed) - mais concretamente o
WGS-84 - que, como o próprio nome
indica, considera que o sistema de coordenadas
tem
origem no centro de massa da Terra e, estando-lhe fixo, roda com ela.
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No ECEF, o eixo "vertical" (o eixo de
rotação da Terra) é o dos ZZ, o eixo dos
XX é a interseccção do plano do meridiano principal com o plano do
Equador
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Para aumentar a clareza da imagem vamos "tirar a Terra da frente" e projectar a posição do
satélite e do receptor, por agora apenas em 2D, no plano XY (rodando os
eixos apenas para manter a orientação, mais familiar, de um
sistema cartesiano a duas dimensões: com o eixo dos
YY na vertical e dos XX na horizontal).
E agora vamos utilizar o Teorema de
Pitágoras para determinar a distância h, no plano XY, entre o satélite S e o receptor R.
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ou seja: h =
((XS - XR)2 + (YS -
YR)2
)1/2
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E o passo seguinte - uma nova aplicação do mesmo Teorema -
permite-nos determinar a distância
SR.
Vendo "por cima", para ficar
mais claro...
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ou seja:
SR =
(h2 + (ZS - ZR)2)1/2
donde que
SR =
((XS - XR)2 + (YS -
YR)2 + (ZS -
ZR)2)1/2
ou, como acima:
c(TS-TR) =
((XS - XR)2 + (YS -
YR)2 + (ZS -
ZR)2)1/2
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É evidente que existem outros cálculos matemáticos mais complexos envolvidos na
implementação prática do GPS, nomeadamente no que diz respeito
aos modelos a aplicar p.e. para corrigir os efeitos do
atravessamento da troposfera e da ionosfera, à conversão de
coordenadas entre ECEF e ECI, etc, etc.
Os cálculos
e raciocínios atrás descritos permitem no entanto ter-se noção dos
fundamentos trigonométricos que servem de base a toda a
implementação do GPS ou de qualquer outro sistema semelhante.
O que significa o termo DOP?
O termo DOP, ou “Diluição da
Precisão”, é um factor que representa numericamente a qualidade da
configuração geométrica dos satélites “visíveis”. Se estiverem muito
juntos o DOP será mau (valor alto), se estiverem muito afastados o
DOP será bom (valor baixo).
A designação DOP é genérica e constitui o resultado da combinação
de alguns factores mais específicos:
PDOP (Position DOP) =
HDOP (Horizontal DOP) “mais”
VDOP (Vertical DOP)
GDOP (Geometric DOP) =
PDOP “mais”
TDOP (Time DOP)
Mais precisamente:
PDOP= (HDOP2+VDOP2)1/2
GDOP= (PDOP2+TDOP2)1/2
Observação: Lá vem outra vez o omnipresente Teorema de
Pitágoras! ...
A configuração geométrica ideal (mas muito pouco provável) será
aquela em que os satélites façam, com o receptor no vértice, ângulos
de 90º.
Os receptores de GPS escolhem, entre os satélites “visíveis”,
aqueles cuja configuração geométrica relativa apresente o melhor DOP.
Daí que, quantos mais satélites estiverem em “linha de vista” com o
nosso receptor, mais probabilidades haja de obter uma boa precisão.
Um valor inferior a 4 para o HDOP é considerado bom; superior a 8
é mau. Os valores do PDOP, HDOP e VDOP são reportados pelos
receptores na mensagem NMEA $GPGSA:
$GPGSA,Smode,FS,SV1,SV2,...,SV12,PDOP,HDOP,VDOP*<CS><CR><LF>
Explicação dos parâmetros:
|
Smode |
2D/3D Switching
mode (A = Automatic Switching or M = Manual/fixed) |
| FS
|
Fix Status (0 =
no Fix, 1 = standard GPS, or 2 = differential GPS)
|
|
SV1...12 |
PRNs of
Satellites in use, null for unused fields |
|
PDOP |
3D Position
Dilution of Precision (00.0 to 99.9) |
|
HDOP |
2D Horizontal
Dilution of Precision (00.0 to 99.9) |
|
VDOP |
Vertical Dilution
of Precision (00.0 to 99.9) |
As coordenadas geográficas e a precisão do GPS
Na utilização prática de dispositivos e programas de
navegação por GPS utiliza-se um de dois formatos possíveis
para a indicação das coordenadas de longitude e latitude.
Por exemplo:
38,123456º (graus com
decimais)
38º 07' 24,44" (graus,
minutos e segundos)
Estes dois valores representam praticamente a mesma
latitude. E em termos práticos são bastante mais precisos
que o necessário para a navegação por GPS praticada pela
maioria dos utilizadores: localizar um Ponto de Interesse
ou viajar até um destino, de automóvel ou a pé.
Um valor como o primeiro, com 6 decimais de grau, tem
uma precisão (teórica, puramente geométrica), se
estivermos a falar de latitude, de cerca de... 11 cm
(onze centímetros!). Não precisamos de tanto. Normalmente
usam-se "apenas" 5 decimais de grau, que apesar de ter uma
precisão dez vezes inferior, de 111cm (1,11m) é mais que
suficiente para viajarmos p.e. até um restaurante ou
qualquer outro destino de viajem.
Um valor em graus+minutos+segundos (com duas decimais
nos segundos, como é possível encontrar normalmente nos
programas de navegação) tem uma precisão equivalente (em
latitude) a 0,000003º, ou seja, de 33 cm. Este formato é
menos prático de ler, de escrever e de usar.
Repararam que eu salientei atrás que os valores da
precisão se referiam à latitude? Pois é. É que em relação
à longitude as coisas mudam um pouco porque...
...a distância
correspondente a uma medida de longitude varia...
... com a
latitude!
Se estivermos a falar de longitude, então um valor com
5 decimais de grau tem uma precisão de cerca de 86cm (em
vez de 111cm).
Vejam a figura abaixo que mostra como 15º de longitude
no Equador correspondem a 1.669,792km enquanto que à
latitude de Lisboa (38ºN) já só representam 1.314km. E
muito perto do Pólo Norte (ou Sul), até mesmo 360º de
longitude podem equivaler a apenas alguns centímetros.
Mas 15º de latitude são sempre equivalentes a
1.664,194km, independentemente da zona do globo
considerada.
Notas: Os valores acima apresentados foram
calculados com base nos dados adoptados no sistema WGS84
(utilizados na navegação por GPS):
Raio equatorial da Terra: 6378,137 km
Raio polar da Terra: 6356,752 km
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