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Partindo da simples fórmula que define a velocidade: |
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vamos usar c para a velocidade (da luz) e x para referir a dimensão que nos interessa, o
"comprimento", na direcção do movimento: |
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| 1. |
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uma vez que c é constante, tanto em S como em S', então: |
| 2. |
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| 3. |
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l é a
constante cujo valor se pretende determinar; por sua vez, ao longo do eixo negativo do x teremos
ou seja: |
| 4. |
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somando 3 e 4 obtém-se 5a: |
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| 5a. |
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onde, por comodidade, se substituíram as constantes  e  ,respectivamente por a e b |
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subtraindo 3 e 4 obtém-se 5b: |
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| 5b. |
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onde se substituíram novamente as constantes e ,respectivamente por a e b |
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como para a origem de S' temos sempre que x'=0, então, voltando a 5a: |
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e designando por v a velocidade com que S' se desloca em relação a S: |
| 6. |
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para determinar como os pontos do eixo x' (de
S') se apresentam quando observados de S
é necessário obter um "instantâneo" de S' a
partir de S, ou seja, fazer t
(de S) igual a 0. E então, tomando 5a temos: |
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o que faz com que 2 pontos do eixo x' que,
medidos em S', tenham uma distância de x'=1
terão em S, a distância: |
| 7. |
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por outro lado, para determinar como os pontos do eixo x (de S) se apresentam quando
observados de S' é necessário obter um
"instantâneo" de S a partir de S', ou seja, fazer t' (de S') igual a 0. E então, tomando primeiro 5b para eliminar o
t das nossas fórmulas, temos: |
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e tomando depois 5a podemos escrever: |
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e agora, tendo em conta 6 para eliminar b
na fórmula anterior, temos: |
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o que faz com que 2 pontos do eixo x que,
medidos em S, tenham uma distância de x=1,
terão em S' a distância: |
| 7a. |
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mas como, segundo o princípio da relatividade, um comprimento em S' observado a partir S deve ser igual
a um comprimento em S observado em S',
então 7 deve ser igual a 7a, ou seja: |
| 7b. |
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finalmente, introduzindo em 5a e 5b as definições das
constantes a e b obtidas
respectivamente em 7b e 6, temos, |
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em 5a:
o que dá: |
| 8a. |
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a primeira das transformações de Lorentz ! |
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e em 5b:
o que dá: |
| 8b. |
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a quarta das transformações de Lorentz ! |