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O espaço-tempo
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A Teoria da Relatividade Restrita fala-nos essencialmente de
duas grandezas absolutamente evidentes para os nossos sentidos: espaço e tempo.
Todos temos uma percepção óbvia das 3 dimensões de espaço - comprimento, largura e
altura - e da passagem do tempo. Fazem parte da nossa própria condição que mais não
seja porque temos um corpo com três dimensões espaciais e um tempo de vida finito.
E estas noções implicam uma outra, igualmente óbvia: a de que é possível haver movimento
de um corpo de um ponto para outro do espaço e que esse movimento demora uma certa
quantidade de tempo. Concretamente, a TRR diz-nos que o tempo é uma 4ª dimensão e
que devemos falar em espaço-tempo. De facto é intuitivo que, ao caracterizarmos
um acontecimento temos que o localizar nas 3 dimensões do espaço mas também no tempo;
quando marcamos um encontro com alguém na rua X, piso Y, sala Z, também dizemos a
que horas.
Isto implica que todo o movimento no espaço é também um "movimento no tempo".
De facto trata-se de um movimento no espaço-tempo.
Vamos ver:
Imaginemos um automóvel que se desloca em linha recta, p.e. na direcção Sul-Norte, a
uma velocidade constante de 100km/h entre dois pontos O
e A que distam 10km um do outro.
Este percurso será efectuado em 6 minutos e o automóvel ter-se-á deslocado ao longo de
uma única das 3 dimensões de espaço (no "eixo do x", a direcção Sul-Norte). Colocando de novo o automóvel no
ponto de partida façamo-lo percorrer, à mesma velocidade constante de 100km/h, uma outra
linha recta, OB,
mas num certo ângulo em relação ao primeiro percurso. Desta vez o carro terá que
percorrer uma distância maior para chegar à meta, mas como a velocidade é a mesma,
demorará mais tempo. Até aqui é tudo óbvio, não é?
Mas, posto noutros termos, não tão evidentes:
No segundo percurso, o que o carro fez foi deslocar-se nas duas dimensões do plano da
estrada, "desperdiçando" parte da sua velocidade (sempre igual) ao
"deslizar" na segunda dimensão! De facto desta vez o carro deslocou-se também
a distância AB
na dimensão z (Este-Oeste).
E se agora imaginarmos que o nosso automóvel tem a capacidade de levantar voo... (se
não consegue pense antes uma avioneta; mas que só voa a 100km/h)...
Agora a velocidade 100km/h foi "gasta" nas 3 dimensões de espaço, x, z e y
e o percurso até à meta demorou ainda mais tempo.
O movimento de um corpo pode ser decomposto nas 3 dimensões de espaço... mas também
na dimensão de tempo. Dito de outro modo, parte da velocidade constante foi
"gasta", também, a viajar no tempo.
De facto, segundo a TRR, a maior parte do movimento de um objecto dá-se através do
tempo e não do espaço!
Para Einstein, tudo (mesmo o que está "parado" em termos de espaço)
viaja no espaço-tempo a uma velocidade constante: a velocidade da luz!
Um objecto "parado" (no espaço) estará a gastar a totalidade da sua
velocidade (a mesma da luz), a viajar no tempo. E inversamente, quando o objecto de
desloca no espaço estará a viajar mais lentamente no tempo.
Assim, a velocidade máxima pelo espaço ocorre quando todo o movimento pelo tempo
é transferido para movimento pelo espaço! Isto acontece quando todo o movimento à
velocidade da luz pelo tempo se converte em movimento à velocidade da luz pelo espaço! |
"Tudo é relativo..."
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| A TRR trata apenas do movimento uniforme, sem influência de
qualquer força que o acelere (ou desacelere), ou seja, do movimento com uma velocidade
fixa. E a noção de velocidade é-nos tão óbvia como as que a compõem: é a quantidade
de espaço (h) percorrido por unidade de tempo (t). v = h / t
No nosso quotidiano, influenciados pelo automóvel e outros meios de transporte, é
frequente medirmos a velocidade em km/h. E é para nós evidente que a velocidade do que
quer que seja se mede em relação ao que está parado! A velocidade de um camião é
medida relativamente a tudo o que consideramos estar parado à beira da estrada,
como sejam as árvores, as casas, etc. Estes objectos estáticos constituem o nosso
sistema de referência.
Quando dizemos que estamos parados estamos a referir-nos ao facto de não detectarmos
movimento em relação a algo: ao chão que pisamos e aos objectos que consideramos como
estáticos. Mas na verdade, se fosse possível colocar um observador a "pairar"
no espaço perto da Terra ("parado" em relação ao Sol), ele ver-nos-ia passar
com uma velocidade incrível de cerca de 107.000km/h!
Mas "voltemos à Terra". Imagine um camião parado numa estrada. O
Vasco, em cima do camião, larga um objecto. Não o atira. Deixa-o apenas cair, na
vertical. O Vasco vê o objecto descrever uma linha recta até ao chão. E o Pedro, um
observador parado na beira da estrada ao lado do camião, vê o mesmo: o objecto descreveu
uma trajectória em linha recta.
Mas o camionista resolve fazer a experiência com o camião em andamento e o Vasco, ao
passar exactamente no mesmo ponto em que estava na primeira experiência, torna a largar
um objecto. Visto por ele, o objecto tornou a cair em linha recta. Mas o que o Pedro viu
agora foi o objecto a descrever uma trajectória parabólica.
Qual foi desta vez a trajectória "verdadeira" do objecto? O Vasco e o Pedro
não concordam um com o outro. Quem tem razão?
A resposta é... ambos! A "verdade" depende do observador. Mais propriamente
do movimento relativo deles.
O Pedro, que está parado à beira da estrada, faz parte de um sistema de referência em
relação ao qual se move o camião. O sistema de referência do Vasco, é constituído
por ele e pelo camião. |
A simultaneidade de acontecimentos
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Na Física Clássica (de Newton, das velocidades pequenas -
ao nível das nossas observações do dia-a-dia) o tempo é absoluto em todo e qualquer
referencial.
Na Física Relativista (de Einstein, das velocidades enormes - dificilmente imagináveis
para a nossa percepção vulgar) o tempo é relativo. Depende do movimento de um sistema
de referência relativamente a outro.
Isto implica que a noção de simultaneidade de dois acontecimentos dependa do movimento
relativo dos observadores. Mais propriamente, depende da velocidade desse movimento.
Vamos abrir a parede lateral do contentor do nosso camião, e fazer emitir , a partir do
seu ponto central dois raios de luz: um em direcção à traseira e outro em direcção à
frente. O Vasco, a meio do contentor, constata que os dois raios chegam
simultaneamente
aos seus topos.
Mas com o camião em movimento - e aqui precisamos imaginar um camião capaz de se
deslocar a uma velocidade (v) enorme, parecida com a da
própria luz - o Pedro constata que, dado que a traseira do camião se aproximou
rapidamente do ponto de origem do raio, o raio emitido para trás percorre um caminho mais
curto do que quando o camião estava parado. Inversamente, a parede dianteira afastou-se
desse ponto e o raio dirigido para a frente percorre um caminho maior. Uma vez que a
velocidade da luz é sempre a mesma independentemente de tudo o resto, o Pedro veria o
raio de luz atingir primeiro a traseira do camião e só depois o outro raio atingir a
frente.
Dois eventos que são simultâneos num determinado sistema de referência podem não o
ser noutro. A simultaneidade não é um conceito absoluto. Depende do estado de movimento
do observador!
E, como se verá, o próprio tempo também não é igual para todos... |
A dilatação do tempo
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| Imaginando que as paredes interiores do nosso camião são
espelhadas, vamos agora emitir, a partir do piso, um fotão de luz em direcção ao teto
(de altura h). O fotão é reflectido e volta ao ponto de
partida. Com o camião parado (em S)
ambos os observadores são unânimes ao descrever a sua trajectória (2h) e o tempo que ela demorou. 
Mas com o camião em movimento - novamente a uma velocidade próxima à da luz - o
Pedro veria o fotão descrever uma trajectória diferente. Embora o fotão, tal como é
observado pelo Vasco, percorra exactamente o mesmo caminho dentro do camião, partindo do
piso (1) reflectindo-se no teto (2) e voltando ao ponto de origem (3), acontece que estes pontos se deslocaram (em
relação ao Pedro) e este vê que o fotão percorre um caminho muito maior.
Como a velocidade da luz (c) é sempre constante
independentemente dos sistemas de referência, o tempo que o fotão demora a percorrer o
trajecto 123 (2h)
medido pelo Vasco é obviamente de T = 2h / c.
Mas do ponto de vista do Pedro, uma vez que o espaço percorrido pelo fotão é
maior (do que 2h) e a sua velocidade (c) se
mantém constante para os dois, então ele conclui que o tempo T'
(o "tempo do Vasco", em movimento, medido pelo Pedro) terá que ser
inevitavelmente maior que T ( "tempo do Pedro",
medido quando o camião estava parado). O Pedro "vê" o relógio do Vasco
trabalhar mais lentamente que o seu. É a dilatação do tempo!
A relação é de:
Quer saber como se chegou a esta fórmula? Clique aqui.
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Os sistemas de referência
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| Para compreender melhor as fórmulas matemáticas da relatividade é
absolutamente essencial aprofundar a noção dos sistemas de referência. Vamos tentar dar
um pequeno "salto mental". Consideremos dois sistemas de coordenadas, um deles (S) que constituirá o sistema de referência,
e o outro (S') em movimento uniforme
em relação ao primeiro com uma velocidade v , que será o sistema inercial. |
| Sistema referencial de inércia |
| Um sistema de coordenadas que se move uniformemente sem
influência de qualquer força que o acelere. |
Transformação de coordenadas de
Galileu |
x' = x - v t
y' = y
z' = z
t' = t |
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| É possível transformar as coordenadas de um sistema de referência nas
coordenadas do outro. A posição x' (do camião) no sistema inercial, pode ser descrita
no sistema de referência como x = x' + v t'. |
É altura de abrir aqui um "parêntesis histórico".
Em finais do séc. XIX vigorava entre os cientistas a teoria do "éter
luminífero" para explicar a propagação da luz como uma onda, tal como determinado
poucos anos antes pelas leis do electromagnetismo de Maxwell. Pensava-se na altura que, à
semelhança das ondas de som que precisam do ar para se propagarem, e das ondas do mar que
se propagam na água, também a luz necessitaria dum meio material. Daí que tenham
admitido a hipótese da existência de um "éter", parado, que assim
constituiria um sistema de referência universal.
Com o intuito de provar a sua existência Michelson e Morley levaram a cabo uma
experiência que ficaria famosa pelo seu resultado: não foi encontrado o
"éter". E assim a experiência de Michelson-Morley "provou"
exactamente o contrário daquilo para que fora concebida abrindo assim caminho a
explicações alternativas. Uma delas foi a Hipótese da Contracção de
Lorentz-Fitzgerald que (sem abandonar a possibilidade de existir o "éter")
previu a possibilidade de se verificar uma contracção no comprimento de um corpo em
movimento. Lorentz calculou, ad-hoc, que a relação de contracção seria
de
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A contracção do espaço
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Para velocidades próximas da velocidade da luz será
necessário aplicar a transformação de Lorentz
em vez da de Galileu.
Transformação de
coordenadas de Lorentz |
y' = y
z' = z
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É frequente usarem-se as seguintes abreviaturas: 
Se estiver interessado em ver como foram derivadas as Transformações de Lorentz...
clique aqui. |
A posição x' no sistema inercial pode ser descrita no sistema de referência,
mediante uma transformação inversa, como x = (x' + v t') g.
E agora já não é só o comprimento a sofrer uma alteração. Também o tempo se
"dilata" (passa mais devagar) a velocidades perto da da luz.
A transformação inversa para o tempo é t = (t' + v x'/c2) g.
O comprimento do foguetão, medido em S', é L' = x'2
- x'1.
Então, esse mesmo comprimento, medido em S, será:
mas como as duas medidas feitas em S são feitas simultaneamente, então t2 = t1 e
Em 1905, Einstein apresentou a Teoria da Relatividade Restrita que eliminou a
necessidade da existência de um "éter luminífero" para explicar o resultado
nulo da experiência de Michelson-Morley (e de várias outras tentativas subsequentes como
a de Kennedy-Thorndike). |
O aumento de massa
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Por seu lado, o aumento efectivo da massa de um objecto a
velocidades próximas da da luz é dado pela fórmula:
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